Archive for the ‘ Komputasi Teknik ’ Category

Contoh Kalkulasi Integrasi Numerik

Pada tulisan ini, akan ditampilkan contoh pembuatan program kalkulasi integrasi numerik untuk 1o titik data pada Microsoft Visual Basic. Evaluasi program akan dilakukan dengan membandingkan hasil perhitungan program terhadap salah satu permasalahan yang terdapat pada halaman 148 referensi [1].

Metode integrasi numerik yang digunakan pada program ini adalah kombinasi antara moetode Trapezoidal dan Simpson. Dikarenakan program yang dibuat adalah program yang berfungsi untuk integrasi numerik 10 titik data, dimana Metode Simpson memerlukan kumpulan data yang ganjil, maka untuk perhitungan integrasi dua data awal, digunakan metode trapezoidal dengan integrasi data – data selanjutnya dilakukan dengan menggunakan metode Simpson. Sebagian besar data diintegrasikan dengan menggunakan metode Simpson dikarenakan metode Simpson menurut referensi lebih akurat dikarenakan integrasinya yang berdasarkan pendekatan fungsi kuadrat untuk tiap tiga set data pada kumpulan data yang ingin diintegralkan. Mengenai kajian yang lebih mendetail mengenai integrasi numerik, pembaca dapat melihatnya pada referensi [1] dan tidak akan dibahas di sini. Singkatnya, berikut persamaan integrasi numerik, masing – masing, untuk metode Trapezoidal dan metode Simpson.

Persamaan Integrasi Trapezoidal

Persamaan integrasi Simpson

Dapat diperhatikan pada gambar 1, algoritma yang disusun pada Microsoft Visual Basic. Sedangkan gambar 2 adalah bentuk program pada saat dijalankan dengan perhitungan yang dilakukan adalah kalkulasi untuk mengevaluasi program yang dibuat berdasarkan contoh soal 8.3 halaman 148 pada referensi [1].

Gambar 1. Algoritma program pada Microsoft Visual Basic

Gambar 2. Evaluasi Program

Berdasarkan evaluasi yang dilakukan, program yang telah dibuat dapat digunakan untuk integrasi numerik 10 set data dengan metode integrasi yang digunakan adalah kombinasi metode integrasi Trapezoidal dan Simpson.

Referensi:

[1] V. Rajaraman. Computer Oriented Numerical Methods 3th Edition. Prentice – Hall of Indoa. 1996

Iklan

Kalkulasi Koefisien drag

Berikut ini penulis akan menampilkan kalkulasi sederhana koefisien drag pada bluff body sederhana yang dikenakan aliran udara pada suhu 298 K. Beberapa kajian mendetail mengenai koefisien drag dapat dibaca pada referensi [1] dan tidak akan dijelaskan di sini demi singkatnya penulisan.Secara umum, koefisien drag dapat dihitung berdasarkan persamaan seperti di bawah ini.

persamaan 1

dengan kondisi aliran secara umum (merujuk terhadap simulasi yang akan dilakukan) seperti pada gambar 1, maka gaya drag perlu dihitung terlebih dahulu dengan mengintegrasikan nilai tekanan berdasarkan luasan tertentu di sebelah kiri dan kanan bluff body, berikut kiranya integrasi yang perlu dilakukan

dengan dA adalah luas infinitesimal yang bergantung terhadap diskritisasi volume pada simulasi, dimana

karena simulasi yang dilakukan adalah dua dimensi (sesuai dengan kriteria simulasi 2d pada program CFDSOF yang akan digunakan), maka

Gambar 1. Kondisi aliran pada simulasi

Pada persamaan dA di atas, dy bergantung terhadap diskritisasi volume yang dilakukan pada simulasi. Berikut contoh diskritisasi volume pada domain yang disiapkan untuk simulasi koefisien drag pada rasio bluff body sama dengan 1.

Gambar 2. diskritisasi volume pada rasio bluff body sama dengan 1

Pertama – tama perlu dijelaskan sedikit mengenai definisi rasio bluff body yang akan digunakan pada tulisan ini seperti yang dapat dijelaskan dari gambar berikut, adalah a/b.

Gambar 3. Definisi rasio bluff body pada tulisan ini

Pada simulasi yang akan dilakukan, digunakan diskritisasi volume dengan ukuran dx dan dy sebesar 0.01 m. Oleh karena itu, persamaan integrasi dapat dibentuk seperti di bawah ini dengan dy sebesar 0.01 m, dengan juga mengingat bahwa dz adalah sebesar 1 m.

Jadi, gaya drag dapat dihitung dengan terlebih dahulu mensimulasikan aliran pada CFDSOF. Setelah itu, nilai – nilai tekanan pada sebelah kiri (region 1) dan kanan (region 2) bluff body diintegrasikan, seperti yang dapat diperhatikan pada gambar 4.

Gambar 4. Region Bluff Body

Setelah memperoleh data – data tekanan dalam setiap arah y infinitesimal (dy), integrasi dilakukan secara numerik. Dalam integrasi numerik, terdapat dua metode yang dapat digunakan yaitu metode trapezoidal dan Simpson. Pembahasan mendetail mengenai metode ini dapat dilihat pada referensi [2]. Berikut persamaan berdasarkan metode – metode numerik tersebut.

Gambar 5. Integrasi Trapezoidal

Gambar 6. Integrasi Simpson

Dalam tulisan ini, akan digunakan kombinasi kedua persamaan integrasi di atas, dengan penggunaan metode trapezoidal pada dua data pertama dan Simpson pada data – data selanjutnya jika banyaknya data yang ingin diintegrasikan berjumlah genap. Hal ini dikarenakan metode simpson memerlukan jumlah data yang ganjil. Tidak digunakannya metode trapezoidal saja, karena menurut [2] metode Simpson memiliki keakuratan yang lebih tinggi dikarenakan metode integrasinya yang diturunkan dari aproksimasi fungsi kuadrat pada setiap tiga data dari sejumlah data yang ingin diintegrasikan.

Berikut domain – domain pada simulasi dengan rasio bluf body 1, 0.625, dan 1.6.

Gambar 7. Domain pada rasio bluff body sebesar 1

 Gambar 8. Domain pada rasio bluff body sebesar 0.625

Gambar 9. Domain pada rasio bluff body sebesar 1.6

Berdasarkan gambar 7 sampai gambar 9, aliran pada bluff body terdapat di antara dua plat yang berjarak 50 cm. Jadi, dengan penetapan fluida udara yang mempunyai kerapatan sebesar 1.184 kg/m^3, viskositas dinamik sebesar 1.8 Ns/m^2, serta alokasi kecepatan sebesar 10 m/s dari inlet sebelah kiri (warna biru pada gambar 7 sampai gambar 9), maka bilangan Reynold pada aliran yang disimulasikan sebesar 320000. Berdasarkan nilai bilangan reynold, maka dapat diasumsikan, pada simulasi, aliran yang terjadi adalah aliran turbulen. Dengan demikian, dimodelkan aliran turbulen k epsilon pada simulasi.

Berikut data tekanan dari hasil simulasi pada setiap rasio bluff body beserta nilai koefisien dragnya berdasarkan kalkulasi dari persamaan 1, dimana integrasi tekanan pada region 1 dan 2 dilakukan dengan metode numerik seperti yang telah dijelaskan. Setelah integrasi tekanan pada setiap region diperoleh, integrasi tekanan pada region 1 (gaya drag pada region 1) dikurangi dengan integrasi tekanan pada region 2 (gaya drag pada reregion 2) sebelum disubtitusi ke persamaan 1 untuk menghitung koefisien drag,

Tabel 1. Drag koefisien pada rasio bluff body sebesar 1

Tabel 2. Drag Coefficient pada rasio bluff body sebesar0.625

Tabel 3. Drag coefficient pada rasio bluff body sebesar 1.6

Dari hasil simulasi pada software CFDSOF dan kalkulasi yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan sementara (berdasarkan tabel 1 sampai tabel 3), bahwa semakin besar rasio bluff body, berdasarkan gambar 3, maka akan semakin kecil pula koefisien dragnya.

[1] Bruce R. Munson, Donald F. Young, Theodore H. Okiishi. Fluid Mechanics 4th Edition . John Wiley & Sons, Inc. 2002.

[2] V. Rajaraman. Computer Oriented Numerical Methods 3th Edition. Prentice – Hall of Indoa. 1996

Solusi Persamaan Diskrit

Persamaan – persamaan hasil diskritisasi volume untuk perhitungan numeric, seperti pada gambar 1, dapat diselesaikan dengan berbagai metode. Metode – metode apapun yang digunakan, pada prinsipnya, dapat menyelesaikan persamaan – persamaan ini untuk mencari solusi dari sistem persamaannya sendiri. Namun, untuk perhitungan – perhitungan yang rumit dengan jumlah persamaan dan variable yang banyak, dimana computer digunakan, algoritma kalkulasi yang efisien serta bersahabat dengan performa computer yang ekonomis perlu untuk dipahami.

Secara umum, metode yang digunakan adalah metode langsung (Direct) dan tidak langsung (Indirect atau Iterative). Yang dimaksud dengan metode langsung adalah suatu metode analitis yang digunakan langsung untuk mencari solusi dari sistem persamaan, contohnya adalah metode aturan cramer dan eliminasi Gauss. Pada metode ini, jumlah operasi perhitungan yang dilakukan dapat diketahui sebelumnya, yaitu, untuk menyelesaikan sebanyak N persamaan dengan N variable yang tidak diketahui, diperlukan N3 operasi dimana sebanyak N2 koefisien harus disimpan pada memori computer.

Gambar 1. Contoh sistem persamaan linear

Tentunya, hal ini menjadi suatu hambatan tersendiri jika kemampuan computer yang akan digunakan mempunyai performa yang minim pada saat ingin dilakukan komputasi mengenai permasalahan, yang pada saat sudah didiskritisasi, membentuk suatu sistem persamaan dengan jumlah persamaan dan jumlah variable yang banyak sehingga akan diperlukan memori computer yang besar untuk menyimpan N2 koefisien.

Sedangkan metode tidak langsung atau iterative, merupakan metode yang berbasiskan terhadap aplikasi dari langkah – langkah/algoritma sederhana yang diulang – ulang pada sistem persamaan tersebut hingga sistem persamaan mencapai keadaan konvergen yang merepresentasikan solusi dari sistem persamaan tersebut. Pada metode iterative, banyaknya langkah – langkah perhitungan yang dilakukan tidak dapat diprediksi, dimana tipikalnya adalah sebanyak N perhitungan per satu kali iterasi. Kekurangan lainnya adalah, jika sistem persamaan tidak berada pada kondisi yang kondusif, maka konvergensi dari suatu sistem persamaan tidak dapat terjamin. Satu – satunya kelebihan dari penggunaan metode iterative adalah sedikitnya memori computer yang digunakan sebagai akibat dari algoritma yang mendesain agar computer hanya menyimpan koefisien – koefisien yang tidak nol. Simulasi – simulasi aliran fluida dapat memiliki jumlah persamaan dan variabel yang sangat banyak, mulai dari 1000 – 2 juta persamaan, yang tentunya dari sistem persamaan tersebut akan terdapat koefisien – koefisien nol, yang jika tidak disimpan pada memori computer, akan menghemat banyak ruang untuk performa computer.

Dikarenakan sistem persamaan Jacobi dan Gauss – Siedel yang lambat mencapai konvergensi pada saat sistem persamaan yang ditinjau mempunyai jumlah persamaan dan variable yang banyak, maka metode ini tidak digunakan pada prosedur kalkulasi CFD. Metode iterative selain Jacobi dan Gauss – Siedel, metode lain yang dapat digunakan adalah kalkulasi dengan menggunakan algoritma matrix tri – diagonal (TDMA) yang diperkenalkan oleh Thomas pada tahun 1949.

Tri – Diagonal Matrix Algorithm (TDMA)

TDMA merupakan metode kalkulasi iterative untuk komputasi CFD dua atau tiga dimensi dan merupakan algoritma standar untuk kalkulasi solusi persamaan aliran pada koordinat cartesius. Dapat diperhatikan salah satu contoh matriks tri – diagonal pada gambar 2.

Gambar 2. Contoh sistem persamaan yang membentuk matriks tri – diagonal

Pada gambar di atas, ϕ1 dan ϕn+1 adalah merupakan nilai batas yang diketahui. Bentuk umum dari setiap persamaan adalah seperti berikut,

Persamaan – persamaan pada gambar 2 dapat di atur ulang seperti berikut,

Gambar 3.

Untuk mendapatkan solusi terhadap ϕ, langkah kalkulasi yang pertama dilakukan adalah forward elimination dengan kemudian dilakukan back substitution untuk mendapatkan nilai – nilai ϕ. Inti dari forward elimination adalah mengatur ulang persamaan – persamaan pada gambar di atas. Dapat diperhatikan urutannya seperti pada gambar 4 untuk contoh forward elimination untuk ϕ3. Untuk langkah pertama, ϕ2 disubtitusi dari persamaan pertama seperti pada gambar 3 di atas.

Gambar 4. Forward Elimination  pada ϕ3

Setelah langkah pada gambar 4 diteruskan sampai ϕn, langkah back substitution dilakukan untuk kalkulasi solusi terhadap nilai – nilai ϕ. Dengan Back Substitution adalah langkah yang mencari solusi variable dari persamaan yang terakhir, dengan kemudian mensubtitusi persamaan terakhir tersebut ke persamaan sebelumnya, langkah ini terus dilakukan hingga nilai semua variable diperoleh.

Aplikasi TDMA

Pada kasus dua dimensi (lihat gambar 5), TDMA akan dilakukan dengan mengkalkulasi sistem persamaan pada satu arah dengan kemudian berpindah ke garis lainnya. Untuk lebih jelasnya, misal akan dilakukan suatu kalkulasi pada bidang dua dimensi seperti pada gambar 5, maka perlu dibuat sistem persamaan dari 1 sampai titik n. Setelah kalkulasi dari titik satu sampai titik n selesai, kalkulasi berpindah ke samping dengan arah yang sama dengan kalkulasi sebelumnya.

Gambar 5. Bidang dua dimensi

Misal, pada titik 2, persamaan yang terbentuk dapat berupa seperti pada gambar di bawah ini.

Gambar 6.

Untuk menyesuaikannya seperti persamaan pada gambar 2, maka persamaan di atas diatur seperti di bawah ini.

Gambar 7.

Dengan subskrip S, N, W, E, P adalah masing – masing koefisien dan variable sebelah selatan titik, koefisien dan variable sebelah utara titik, koefisien dan variable sebelah barat titik, koefisien dan variable sebelah timur titik, dan titik yang bersangkutan, serta b yang adalah suku sumber atau factor yang berkontribusi terhadap perubahan nilai – nilai atau distribusi variable ϕ pada daerah komputasi. Karena perhitungan bergerak dari selatan ke utara, maka nilai – nilai yang bersangkutan dengan titik sebelah barat dan sebelah timur titik yang bersangkutan dianggap diketahui (biasanya diberikan nilai nol). Begitu terus perhitungan dilakukan hingga variable – variable ϕ di setiap titik pada bidang diperoleh. Setelah itu, perhitungan dilakukan lagi (diulang/iterasi) hingga error terhadap solusi dari sistem persamaan mencapai toleransi yang telah ditetapkan sebelumnya.

Sedangkan untuk kasus tiga dimensi, perhitungan pada dasarnya sama seperti pada kasus dua dimensi. Namun, sebelum kalkulasi sistem persamaan diiterasi, pergerakan perhitungan bergerak ke atas/ bawah terlebih dahulu untuk mendapatkan variable pada semua daerah komputasi. Berikut contoh gambar untuk memperjelas aplikasi TDMA pada kasus tiga dimensi.

Gambar 8. Daerah komputasi tiga dimensi

Serta berikut contoh persamaan pada setiap titik di kasus komputasi tiga dimensi.

Untuk contoh kalkulasi pada model fisikanya, referensi versteeg [1] dapat menjadi bahan acuan. Sedangkan beberapa contoh – contoh kalkulasi iterasi dapat diperhatikan pada Metoda Iterative Bisection dalam kalkulasi solusi persamaan polynomial orde tiga, Kalkulasi ketinggian cairan pada tanki horizontal dengan menggunakan Microsoft Visual Basic. Serta berikut pembahasan  – pembahasan singkat mengenai kalkulasi solusi sistem persamaan, Kalkulasi solusi persamaan aljabar simultan, Metoda Iterasi.

Referensi:

[1] HK Versteeg. Malalasekera W. An Introduction to Computational Fluid Dynamic : Chapter 7. Longman Scientific and Technical. 1995.

Kalkulasi Performa Energi pada Bangunan berdasarkan Temperatur Ruangan (Pendahuluan)

Sinopsis Tugas Besar Mata Kuliah “Komputasi Teknik”

Kalkulasi Performa Energi pada Bangunan berdasarkan Temperatur Ruangan

Muhammad Agung S. (0806330333)

Abstrak

Bangunan memiliki beberapa aspek yang harus dipertimbangkan guna menjaga temperatur di dalam bangunan itu sendiri berada dalam besaran yang dapat ditoleransi oleh penghuni untuk merasa nyaman. Oleh karena itu, beberapa faktor – faktor yang mempengaruhi distribusi termal pada bangunan seperti luas bukaan jendela, tebal dinding, tebal insulasi, banyaknya lantai, luas dinding, sistem pendinginan/pemanasan perlu diperhitungkan untuk menunjang temperatur yang berkualitas di dalam ruangan. Namun, performa energi yang optimal terkadang tidak mungkin untuk direalisasikan karena faktor ekonomi yang juga mempengaruhi konstruksi sebuah bangunan. Oleh karena itu, perlu untuk dilakukannya kalkulasi performa energi yang paling maksimal dengan juga turut memperhitungakan batasan – batasan yang ditetapkan oleh faktor ekonomi. Akan dilakukan kalkulasi numerik untuk mengetahui besaran temperatur ruangan per satuan waktu (jam) pada bangunan sesuai dengan beberapa parameter yang telah ditetapkan sebelumnya seperti geometri bangunan, batasan ekonomi, dan batasan performa energi.

Kata kunci : temperatur ruang, kalkulasi numerik, simulasi.

Studi Literatur

Besaran temperatur di dalam ruangan dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan kesetimbangan pada tiap – tiap komponen yang mempengaruhi infiltrasi panas ataupun rugi panas yang mengakibatkan temperatur di dalam ruangan tidak sesuai dengan yang diinginkan. Beberapa komponen – komponen yang dapat diikutsertakan dalam kalkulasi adalah luas bukaan jendela, tebal dinding, tebal insulasi, banyaknya lantai, luas dinding, sistem pendinginan/pemanasan, serta batasan – batasan ekonomi dan energi. Niels Varming et al [1] melakukan simulasi atau kalkulasi numerik untuk mengetahui pengaruh dari konstruksi termo – aktif pada temperatur ruangan per satuan waktu dalam jam. Kalkulasi yang disertakan pada artikel ini meliputi persamaan – persamaan kesetimbangan dan algoritma yang sederhana. Model ruangan yang dibahas pada [1] merupakan model ruangan sederhana yang dapat diperhatikan pada gambar 1.  Persamaan – persamaan yang digunakan sesuai dengan jaringan termal yang merepresentasikan model ruangan yang digunakan, dimana jaringan tersebut dapat diperhatikan pada gambar 2.

Gambar 1. Model ruangan dengan konstruksi termo – aktif pada [1]

Gambar 2. Jaringan termal pada model ruangan [1]

Maka, dengan demikian dapat disusun suatu sistem persamaan yang sesuai dengan jaringan termal di atas.

Dengan, parameter yang ditandai oleh ext, w, s, a, ta, sta, secara berurutan adalah exterior, dinding, permukaan dinding, udara, konstruksi termo – aktif, permukaan dari konstruksi termo – aktif.

Sedangkan pada Pedersen et al [2], model ruangan seperti pada gambar 3 digunakan untuk mengoptimasi nilai – nilai seperti tebal insulasi, persentase bukaan jendela, jumlah lantai, serta ukuran bangunan yang direpresentasikan dalam rasio antara lebar dengan panjang ruangan. Dimana optimasi yang dilakukan objektif terhadap performa energi dan ekonomi disertai oleh beberapa regulasi – regulasi energi untuk inisiasi performa energi pada bangunan setelah proses perhitungan dilakukan. Dimana proses perhitungan dilakukan sesuai dengan jaringan termal yang ditunjukkan pada gambar 4.

Gambar 3. Model ruangan pada [2]

Sesuai dengan jaringan termal seperti pada gambar 4, maka kalkulasi berdasarkan variabel – variabel seperti tebal insulasi, persentase bukaan jendela, jumlah lantai, serta ukuran bangunan yang direpresentasikan dalam rasio antara lebar dengan panjang ruangan akan mempengaruhi penggunaan energi, konduktivitas termal (fluks termal) lantai, dinding, dan atap, serta pemanfaatan cahaya pada saat siang hari, biaya konstruksi dan biaya operasional bangunan.

Gambar 4. Jaringan termal pada model bangunan [2]

Perumusan Masalah

Sesuai dengan studi literature yang telah dilakukan akan dicoba untuk mengkalkulasi performa energi, yang tentunya sesuai dengan batasan – batasan ekonomi, pada model yang berbeda dengan studi literature yang telah dilakukan. Pada selanjutnya, karena Niels [1] focus terhadap konstruksi termo – aktif, maka akan dicoba untuk melakukan kalkulasi yang sesuai dengan konsep yang telah disampaikan pada Pedersen [2], namun dengan model yang berbeda tentunya, dan diakhiri dengan aplikasi termo – aktif pada model yang telah dikalkulasi. Perbandingan terhadap model dengan konstruksi termo – aktif dan tidak, akan menjadi hasil akhir. Dimana untuk mengaplikasikan konstruksi termo – aktif, akan digunakan konsep yang telah disampaikan pada Niels [1].

Referensi:

[1] Niels Varming, Christian Mølholm, Toke Rammer Nielsen, Peter Weitzmann, Svend Svendsen. Simplified calculation of hourly temperatures, heating demands and cooling demands in buildings with thermo active constructions.

[2] Frank Pedersen. A method for optimizing the performance of buildings. Department of Civil Engineering. DTU.

Solusi Numerik beberapa Parameter Boundary Layer

Pada post kali ini, saya ingin mencoba untuk menyampaikan beberapa persamaan hasil pendekatan numerik terhadap penyelesaian solusi numerik beberapa parameter boundary layer seperti profil kecepatan, hambatan, profil temperatur, dan koefisien perpindahan panas. Untuk lebih jelasnya, berikut permasalahannya,

Agar lebih jelasnya, sepertinya perlu untuk pertama – tama dijelaskan mengenai fundamental penyelesaian dinamika fluida secara numerik, khususnya dengan menggunakan metode volume hingga.

Dalam menggunakan metode numerik volume hingga, wilayah komputasi dibagi menjadi beberapa bagian (cell/grid) untuk dengan kemudian pada cell/grid tersebut diaplikasikan hukum – hukum konservasi untuk mendapatkan solusi terhadap variabel/field tekanan, kecepatan (pada sumbu x, y, dan z), serta temperatur. Berikut persamaan – persamaan konservasi yang disebutkan di atas.

Pembagian grid – grid dilakukan secara tumpang tindih untuk mengaplikasikan perhitungan secara numerik, yang dapat diperhatikan pada gambar di bawah ini.

Dapat diperhatikan pada gambar di atas bahwa tanda panah yang merupakan variabel vektor, mempunyai kontrol volume yang tumpang tindih dengan P yang merupakan variabel skalar. Jadi, pada intinya, pembagian grid pada kalkulasi numerik dinamika fluida adalah pembagian grid yang tumpang tindih antara grid variabel skalar dan vektor.

Salah satu algoritma perhitungannya dapat dilakukan dengan metode SIMPLE yang ringkasnya adalah sebagai berikut.

Dimana persamaan – persamaan pada gambar di atas adalah persamaan – persamaan atur yang sudah didiskritisasi, khususnya dari persamaan konservasi momentum (STEP 1). Sedangkan pada Step 4 (langkah 4), persamaan diskrit tersebut berasal dari persamaan konservasi lainnya misal persamaan konservasi energi untuk mencari solusi terhadap profil temperatur.

Pada gambar di atas, variabel p, u, v, w, tetha, A,  merepresentasikan tekanan, kecepatan fluida pada sumbu x, kecepatan fluida pada sumbu y, kecepatan pada sumbu z, variabel – variabel diskrit lainnya, misal temperatur, dan luas penampang bidang i, J. Sedangkan variabel dengan lambang asterisk (*) merepresentasikan variabel dugaan awal untuk memulai perhitungan. Serta variabel dengan lambang ” ‘ ” merupakan faktor koreksi terhadap variabel dugaan awal. Dapat diperhatikan bahwa pada langkah 1, perhitungan dapat dilakukan dengan metode kalkulasi matriks seperti eliminasi gauss atau iterasi Gauss – Siedel.

Variabel – variabel lain seperti pada gambar di atas seperti ai,J ; Sigma(anb.unb); bi,J; dan beberapa variabel lain yang terdapat pada gambar algoritma di atas dapat diperhatikan lebih jelasnya pada gambar di bawah ini.

Sigma(anb.unb) untuk kontrol volume kecepatan vektor u

Sigma(anb.unb) untuk kontrol volume kecepatan vektor v

beberapa variabel lainnya,

dimana.

Dengan demikian, perhitungan numerik dapat dilakukan dengan mengaplikasikan persamaan – persamaan di atas, dengan menggunakan algoritma yang telah ditunjukkan.

Karena kapasitas blogger yang saat ini masih terbatas, khususnya untuk mengaplikasikan algoritma di atas dalam bentuk bahasa pemrograman, maka solusi numerik untuk permasalahan di atas diselesaikan dengan mengambil data dari hasil simulasi dengan menggunakan program CFDSOF. Kemudian untuk mengetahui profil kecepatan dan temperatur, data – data hasil dari simulasi dapat diambil dengan kemudian diplot grafiknya.

Berikut set – up simulasi yang dilakukan sebelumnya, dengan jumlah cell/grid pada arah x dan y, masing – masing adalah 50 dan 20.

Berikut beberapa data hasil simulasi untuk kecepatan u

Berikut bentuk profile kecepatannya untuk i = 2, i = 25, dan i = 49.

Sedangkan untuk mengetahui profile temperatur akibat adanya pembangkitan panas pada plat datar sebesar 1 kW/m(pangkat 2), dapat kembali diplot beberapa data dari hasil simulasi seperti di bawah ini,

Maka, berikut gambar profil boundary layer temperatur untuk i = 2, i = 5, dan i = 7

Sedangkan untuk melihat profile dari koefisien transfer konveksi, dapat dilihat dengan mem – plot data dari hasil simulasi seperti di bawah ini,

Serta berikut profil koefisien konveksi untuk i = 2, i = 5, dan i = 7

 

Referensi:

HK. Versteeg, Malalasekera W., An Introduction to Computational Fluid Dynamic : Chapter 6. Longman Scientific & Technical.1995.

Kalkulasi solusi persamaan aljabar simultan

Kali ini, saya ingin sedikit menjelaskan mengenai metode – metode yang digunakan untuk kalkulasi solusi persamaan aljabar simultan. Misal terdapat persamaan aljabar simultan seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini, maka metode kalkulasi yang diinginkan adalah suatu algoritma yang dapat menemukan nilai x1, x2, dan x3, berdasarkan koefisien – koefisien aij yang sudah ditentukan sebelumnya.

Dalam menyelesaikan persamaan di atas, untuk menemukan variabel xi, terdapat beberapa metode kalkulasi, yang antara lain adalah,

– Metode Eliminasi Gauss

– Metode “Pivoting”

– Metode Iterasi Gauss – Seidel

Karena metode Eliminasi Gauss dan metode iterasi Gauss – Seidel, secara garis besar, sudah saya jelaskan pada post saya sebelumnya, Kalkulasi Eliminasi Gauss pada Microsoft Visual Basic dan Iterasi dan Konvergensi dengan menggunakan metode iterasi Gauss – Seidel, maka yang akan sedikit saya jelaskan di sini adalah metode “Pivoting” saja.

 

1. Metode “Pivoting”

Pada metode eliminasi gauss, seperti yang saya jelaskan pada post saya sebelumnya “Kalkulasi Eliminasi Gauss pada Microsoft Visual Basic“, dalam mengeliminasi matriks atau koefisien persamaan aljabar simultan guna membentuk matriks segitiga, diperlukan suatu variabel u,

dapat dilihat kekurangan dari metode eliminasi gauss pada langkah pembentukan variabel u. Jadi, jika terdapat koefisien a(kk) yang bernilai nol atau mendekati nol, maka solusi yang diinginkan tidak akan tercapai. Oleh karena itu, setidaknya a(kk) adalah merupakan koefisien yang, secara absolut, paling besar di antara koefisien – koefisien lainnya di dalam kolom k. Jadi jika yang ingin dieliminasi, pada kolom 1, adalah koefisien a(21) dan a(31), maka akan diperlukan variabel u yang bernilai,

Jadi, karena a(11) adalah koefisien yang mengeliminasi kefisien lainnya pada kolom 1, a(11) disebut sebagai elemen pivot. Oleh karena itu juga, koefisien a(11) tidak boleh bernilai nol atau mendekati nol. Bahkan, akan lebih baik jika koefisien a(11) lebih besar dari pada koefisien a(21) dan a(31).

Maka, berkaitan dengan permasalahan ini yang merupakan kekurangan dari eliminasi gaus, maka pada metode pivoting, sebelum dilakukan eliminasi dilakukan terlebih dahulu identifikasi setiap nilai koefisien pada setiap kolom. Jadi, dapat diperhatikan pada gambar di atas, bahwa yang berperan sebagai elemen pivot adalah koefisien a(11), a(22), dan a(33). Jadi, harus disusun terlebih dahulu koordinasi persamaan simultan yang memiliki elemen pivot yang terbesar, relatif terhadap kolom masing – masing. Jika, ternyata koefisien a(22) mendekati nol atau yang terkecil (agar algoritma lebih mudah, maka akan lebih baik jika elemen pivot merupakan koefisien dengan nilai yang terbesar relatif terhadap kolom elemen pivot tersebut berada) dan koefisien a(32) merupakan koefisien yang terbesar di kolom dua, maka hendaknya persamaan kedua ditukar dengan baris ketiga, sehingga a(32) dan a(22) bertukaran posisi dan a(32) menjadi a(22) yang baru, begitupun sebaliknya.

Namun, masih tetap terdapat kekurangan pada metode elemen pivot ini, yaitu kondisi yang disebut dengan kondisi “illconditioned”. Jadi, jika sebelumnya telah ditetapkan bahwa elemen pivot tidak bleh lebih kecil dari sebuah bilangan e dan ternyata semua koefisien pada kolom tempat elemen pivot berada lebih kecil dari bilangan e, maka tidak ada solusi berarti yang dapat diperoleh. Kondisi “illconditioned” dapat juga ditemui jika determinan dari matriks hasil koordinasi persamaan aljabar simultan bernilai kecil.

Metoda Iterasi

Post kali ini, mengenai metode – metode iterasi yang sering digunakan pada metode numerik untuk kalkulasi solusi suatu persamaan atau sistem persamaan. Jadi, inti dari Iterasi adalah, menyelesaikan atau mencari solusi dari suatu persamaan atau sistem persamaan tertentu dengan:

– mengestimasi nilai awal salah satu variabel

– menentukan toleransi error untuk solusi akhir

– Memulai perhitungan pada persamaan atau sistem persamaan dengan algoritma metode iterative

– Kemudian mengulang lagi perhitungan dengan adanya variabel yang digantikan oleh variable baru hasil perhitungan dari perhitungan sebelumnya sesuai dengan kondisi algoritma metode iterative yang digunakan

– Perhitungan terus berulang hingga error dari variabel hasil perhitungan, relatif terhadap suatu variabel lainnya, mencapai nilai yang sudah ditetapkan

Pengulangan – pengulangan perhitungan yang terjadi, berdasarkan error, adalah yang disebut dengan iterasi, dan dilakukan terus sampai error mengecil, yang mengartikan bahwa nilai variabel solusi sudah mulai menuju satu titik (Konvergen)

Berikut beberapa metode iterative yang sering digunakan untuk mencari solusi dari persamaan atau sistem persamaan:

1. Metode Bisection

2. Metode “False Position”

3. Metode Newton – Raphson

4. Metode Secant

5. Metode Aproksimasi “Succesive”

Berikut sedikit penjelasan mengenai metode – metode iterative yang disebutkan di atas:

1. Metode Bisection

Metode bisection merupakan metode yang digunakan untuk mencari solusi dari persamaan tertentu. Filosofi yang digunakan pada metode bisection adalah memperkecil rentang nilai variabel bebas yang di dalamnya terdapat solusi ingin dicari. Jadi, seni yang terdapat pada metode bisection ini adalah mencari rentangan nilai variabel bebas yang di dalamnya terdapat solusi yang diinginkan. Mungkin dapat diperhatikan pada gambar di bawah ini untuk lebih jelasnya.

Jadi, pada gambar di atas, dapat diperhatikan bahwa untuk menemukan solusi persamaan (akar persamaan), yang sesuai dengan persamaan yang ditunjukkan pada grafik tersebut, dipilih dua nilai a dan b yang merupakan nilai dari sumbu x. Salah satu ketetapan yang perlu untuk dijelaskan terlebih dahulu pada metode Bisection adalah, pada perkiraan nilai yang akan menjadi interval estimasi penentuan solusi akar persamaan (pada kasus gambar di atas, merupakan nilai a dan b), perlu agar nilai a dan b untuk menghasilkan nilai persamaan (f(a) dan f(b)) yang mempunyai tanda yang berlainan (+ atau -).

Setelah interval awal ditetapkan, maka iterasi dengan metode bisection dapat dilakukan, hal ini dilakukan dengan pertama – tama menentukan nilai x (pada gambar di atas, merupakan nilai x1) di tengah – tengah nilai a dan b. Setelah itu, dicari nilai persamaan untuk terhadap nilai x dan nilai a (f(x) dan f(a)). Kemudian, jika tanda pada nilai persamaan f(x) dan f(a) sama, maka pada kalkulasi berikutnya, x1 akan berperan menjadi a pada perhitungan selanjutnya. Namun, jika tidak, maka nilai x1 akan berperan sebagai nilai b pada perhitungan selanjutnya.

Selanjutnya kalkulasi dihitung kembali dengan interval baru yang dimana salah satu dari nilai intervalnya digantikan oleh nilai x1, sesuai dengan ketetapan tanda pada nilai persamaan di perhitungan sebelumnya. Setelah itu, dicari kembali nilai tengah antara interval yang baru, dan perhitungan diulang lagi (iterasi) sampai pada tingkat keakuratan tertentu (e). Dimana e < (b – a)/b. Untuk lebih jelasnya, dapat diperhatikan gambar di bawah ini yang mengilustrasikan langkah iterative pada metode Bisection, atau dengan memperhatikan posting saya sebelumnya, Metoda Iterative Bisection dalam kalkulasi solusi persamaan polynomial orde tiga.

2. Metode “False Position”

Metode “false position” merupakan improvisasi dari metode Bisection. Jadi, pada metode “false position” tetap digunakan dua nilai interval (misal a dan b) di antara nilai solusi akar persamaan yang memiliki tanda berlainan pada masing – masing nilai persamaannya. Namun, yang berbeda dari iterasi “false position” dengan metode Bisection adalah pencarian nilai diantara interval pertama yang dicari dengan menarik garis lurus antara f(a) dan f(b) dan mengambil nilai x1 (nilai di antara a dan b) dari perpotongan garis f(a) -> f(b) dengan sumbu x. Jadi, dibandingkan dengan mengambil nilai x1 sebagai pertengahan nilai a dan b pada metode bisection, algoritma pada metode “false position” dapat diartikan memiliki jumlah pengulangan perhitungan yang lebih kecil (cepat) dibandingkan metode bisection karena dengan mengambil nilai x1 sebagai perpotongan garis f(a) -> f(b), maka nilai x1 lebih mendekati solusi akar persamaan dibandingkan metode bisection. Lebih jelasnya, dapat diperhatikan pada gambar di bawah ini (dengan berikut variabel – variabel pada gambar yang relevan dengan variabel – variabel pada penjelasan paragraf di atas, a = z1, b = z2, x1 = zs, f(x) = g(z), f(a) = g(z1), f(b) = g(z2), f(x1) = g(zs).

Persamaan untuk menentukan nilai zs (sesuai dengan gambar di atas) dapat diturunkan dari persamaan tangensial sudut. Singkatnya, nilai zs dapat ditentukan sesuai dengan persamaan sebagai berikut.

kemudian, dicari nilai fungsi persamaan berdasarkan nilai zs. Jika masih diluar toleransi keakuratan, maka kalkulasi diulang kembali (iterasi) dengan mengganti salah satu nilai z1 atau z2 dengan nilai zs sesuai dengan ketetapan tanda nilai fungsi z1 dan zs. Jadi, jika tanda g(z1) sama dengan tanda g(zs), maka nilai z1 pada perhitungan selanjutnya digantikan dengan nilai zs, namun jika tidak, maka z2 yang digantikan oleh zs. Jadi, perhitungan tetap beriterasi selama g(zs) belum mendekati nilai 0, tentunya sesuai dengan toleransi keakuratan yang sudah ditetapkan.

3. Metode Newton – Raphson

Metode Iterasi Newton – Raphson merupakan metode yang benar – benar berlainan dengan metode – metode iterasi sebelumnya yang sudah dijelaskan. Untuk lebih jelasnya, perlu untuk pertama – tama memperhatikan gambar di bawah ini.

Jadi, dipilih suatu nilai estimasi xo sembarang. Kemudian ditentukan titik x1 yang merupakan antara perpotongan garis singgung f(x0) dengan sumbu x. Dimana kemiringan garis singgung f(x0) adalah f'(x0). Persamaan untuk mendapatkan nilai x1 dapat diperoleh dengan meninjau persamaan tangensial sudut antara garis singgung f(x0) dengan sumbu x, yang adalah

yang sederhananya adalah sebagai berikut

Kemudian, kalkulasi diulang kembali dengan menggati nilai x0 dengan x1 untuk mencari nilai x2. Berikut bentuk umum persamaan di atas,

Jadi, perhitungan terus beriterasi sampai pada nilai f(x(i+1)) atau selisih antara xi dan x(i+1) mendekati nol atau sesuai dengan tingkat tolerasi keakuratan yang diinginkan. Dari algoritma perhitungan yang dijelaskan ataupun dari gambar ilustrasi metode newton – raphson di atas , dapat kita ambil kesimpulan bahwa iterasi pada metode Newton – Raphson jauh lebih cepat dibandingkan dengan iterasi pada metode Bisection dan “False Position”. Namun, kekurangan yang dimiliki oleh metode Newton – Raphson adalah perlunya ketepatan dalam pemilihan nilai estimasi awal, yang dengan demikian menyebabkan tidak terjaminnya konvergensi pada metode newton – Raphson. Untuk lebih mudahnya, dapat diperhatikan salah satu contoh divergensi pada gambar di bawah ini.

Gambar di atas mengilustrasikan salahnya estimasi nilai awal pada kalkulasi newton – raphson. Jadi, dengan menetapkan estimasi nilai x0 seperti pada gambar di atas, berakibat kepada kemiringan garis singgung yang nilainya mendekati nol (f'(x2) mendekati nol). Jadi, dapat juga dilihat pada persamaan umum newton – raphson di atas, yang perhitungannya memerlukan ketetapan awal yang dimana f'(xi) tidak boleh sama dengan nol atau mendekati nol. Karena, sesuai peninjauan grafis, jika kemiringan garis singgung fungsi sama dengan nol, maka garis singgung tidak akan pernah memotong sumbu x yang berakibat tidak diperolehnya estimasi lanjutan nilai x.

4. Metode Secant

Metode secant adalah metode yang menyederhanakan perhitungan yang akan dilakukan, relatif terhadap metode Newton – Rephson. Penyederhanaan yang dilakukan adalah dengan mengeliminasi kalkulasi f'(x) pada algoritma. Hal ini dikarenakan, sering suatu bentuk persamaan tertentu mempunyai bentuk persamaan yang kompleks, rumit, dan panjang sehingga memerlukan waktu komputasi yang lebih lama.

Pada metode iterative secant, diperlukan dua nilai estimasi awal, yang dimana nilai ini tidak perlu merupakan interval yang di dalamnya terdapat solusi akar persamaan. Jadi, jika merujuk dari gambar di atas, dengan z1 dan z2 adalah merupakan dua nilai estimasi awal, ditarik garis secant antara g(z1) dan g(z2). Perpotongan antara garis secant tersebut dengan sumbu x, menghasilkan nilai zs(1). Selanjutnya, ditarik kembali garis secant antara g(z2) dan g(zs(1)) yang akan berpotongan dengan sumbu x di zs(2). Kemudian berlanjut lagi dengan menarik garis secant antara g(zs(1)) dan g(zs(2)) yang akan berpotongan di nilai zs selanjutnya. Begitu seterusnya hingga nilai g(z) mendekati nol sesuai dengan toleransi keakuratan yang telah ditetapkan sebelumnya. Namun, estimasi nilai awal tetap merupakan faktor penting dalam konvergensitas iterasi. Oleh karena itu, sama halnya dengan metode newton – raphson, metode secant tidak menjamin suatu konvergensitas iterasi di semua nilai estimasi awal solusi.

Persamaan berikut ini, yang diturunkan dari persamaan tangensial dapat diperhatikan seperti berikut.

dengan g'(z2) dikalkulasi sesuai dengan perhitungan berikut.

setelah subtitusi persamaan g'(z) ke dalam persamaan zs(1) dan menyederhanakannya, diperoleh persamaan sebagai berikut.

Jadi, dari penjelasan di atas, ketidak – ikutsertaan kalkulasi derivasi dari fungsi persamaan yang ingin dicari solusinya, menyebabkan metode secan mempunyai waktu iterasi yang relatif lebih cepat dibandingkan metode Newton – Raphson. Namun, sama halnya juga dengan metode Newton – Raphson, metode secant tidak menjamin suatu konvergensitas iterasi di semua nilai estimasi awal solusi.

5. Metode Aproksimasi “Successive”

Metode aproksimasi suksesive adalah metode iterasi yang sangat mudah untuk diprogram di komputer. Jadi, inti dari algoritma metode iterasi ini adalah merubah bentuk dari suatu fungsi f(x) = 0 menjadi x = g(x). Dengan membayangkan bahwa terdapat garis y = x dan y = g(x), maka solusi akar persamaan untuk f(x) terletak pada perpotongan garis y = x dan kurva y = g(x). Berikut ilustrasinya,

Dimana yang dimaksud dengan phi(x) pada gambar di atas adalah g(x). Jadi, secara umum,

x1 = g(x0), x2 = g(x1), …, x( i+1) = g(xi), …, xn = g(x(n-1))

Jadi solusi akan diperoleh pada saat interval relative xi dan x(i+1) atau g(i) dan g(i+1) berada pada toleransi keakuratan yang sudah ditetapkan sebelumnya.