Kalkulasi solusi persamaan aljabar simultan

Kali ini, saya ingin sedikit menjelaskan mengenai metode – metode yang digunakan untuk kalkulasi solusi persamaan aljabar simultan. Misal terdapat persamaan aljabar simultan seperti yang terlihat pada gambar di bawah ini, maka metode kalkulasi yang diinginkan adalah suatu algoritma yang dapat menemukan nilai x1, x2, dan x3, berdasarkan koefisien – koefisien aij yang sudah ditentukan sebelumnya.

Dalam menyelesaikan persamaan di atas, untuk menemukan variabel xi, terdapat beberapa metode kalkulasi, yang antara lain adalah,

– Metode Eliminasi Gauss

– Metode “Pivoting”

– Metode Iterasi Gauss – Seidel

Karena metode Eliminasi Gauss dan metode iterasi Gauss – Seidel, secara garis besar, sudah saya jelaskan pada post saya sebelumnya, Kalkulasi Eliminasi Gauss pada Microsoft Visual Basic dan Iterasi dan Konvergensi dengan menggunakan metode iterasi Gauss – Seidel, maka yang akan sedikit saya jelaskan di sini adalah metode “Pivoting” saja.

 

1. Metode “Pivoting”

Pada metode eliminasi gauss, seperti yang saya jelaskan pada post saya sebelumnya “Kalkulasi Eliminasi Gauss pada Microsoft Visual Basic“, dalam mengeliminasi matriks atau koefisien persamaan aljabar simultan guna membentuk matriks segitiga, diperlukan suatu variabel u,

dapat dilihat kekurangan dari metode eliminasi gauss pada langkah pembentukan variabel u. Jadi, jika terdapat koefisien a(kk) yang bernilai nol atau mendekati nol, maka solusi yang diinginkan tidak akan tercapai. Oleh karena itu, setidaknya a(kk) adalah merupakan koefisien yang, secara absolut, paling besar di antara koefisien – koefisien lainnya di dalam kolom k. Jadi jika yang ingin dieliminasi, pada kolom 1, adalah koefisien a(21) dan a(31), maka akan diperlukan variabel u yang bernilai,

Jadi, karena a(11) adalah koefisien yang mengeliminasi kefisien lainnya pada kolom 1, a(11) disebut sebagai elemen pivot. Oleh karena itu juga, koefisien a(11) tidak boleh bernilai nol atau mendekati nol. Bahkan, akan lebih baik jika koefisien a(11) lebih besar dari pada koefisien a(21) dan a(31).

Maka, berkaitan dengan permasalahan ini yang merupakan kekurangan dari eliminasi gaus, maka pada metode pivoting, sebelum dilakukan eliminasi dilakukan terlebih dahulu identifikasi setiap nilai koefisien pada setiap kolom. Jadi, dapat diperhatikan pada gambar di atas, bahwa yang berperan sebagai elemen pivot adalah koefisien a(11), a(22), dan a(33). Jadi, harus disusun terlebih dahulu koordinasi persamaan simultan yang memiliki elemen pivot yang terbesar, relatif terhadap kolom masing – masing. Jika, ternyata koefisien a(22) mendekati nol atau yang terkecil (agar algoritma lebih mudah, maka akan lebih baik jika elemen pivot merupakan koefisien dengan nilai yang terbesar relatif terhadap kolom elemen pivot tersebut berada) dan koefisien a(32) merupakan koefisien yang terbesar di kolom dua, maka hendaknya persamaan kedua ditukar dengan baris ketiga, sehingga a(32) dan a(22) bertukaran posisi dan a(32) menjadi a(22) yang baru, begitupun sebaliknya.

Namun, masih tetap terdapat kekurangan pada metode elemen pivot ini, yaitu kondisi yang disebut dengan kondisi “illconditioned”. Jadi, jika sebelumnya telah ditetapkan bahwa elemen pivot tidak bleh lebih kecil dari sebuah bilangan e dan ternyata semua koefisien pada kolom tempat elemen pivot berada lebih kecil dari bilangan e, maka tidak ada solusi berarti yang dapat diperoleh. Kondisi “illconditioned” dapat juga ditemui jika determinan dari matriks hasil koordinasi persamaan aljabar simultan bernilai kecil.

  1. wah sangat menarik.. ada metode lain gak sih, gung?
    terima kasih..

    • Arandityo Narutomo
    • Maret 29th, 2012

    Wah bagus sekali nih bung agung.Mau tanya, itu pivoting bukannya digunakan juga ketika kita ingin menyelesaikan dengan eliminasi gauss?? Mohon pencerahan..

    salam,

    arandityonarutomo.blogspot.com

  2. Wah bagus neyh.. di tunggu ya algoritmanya..
    makasih..

  3. berarti untuk pivoting, harus kita hitung dulu kah dalam pemograman untuk mencari nilai e? biar user bisa diperingatkan lebih dahulu?

  4. Tulisan yg cukup menarik. Mungkin akan lebihbaik lagi jika setiap metode diberikan kekurangan dan kelebihan serta waktu penggunaannya,
    Thx infonya,

  5. selain gauss menurut agung metode apa lagi yang bagus untuk penyelesaian aljabar simultan?

  6. setelah membaca blog ini, saya mendapatkan pencerahan tentang pivoting. thx gung.

  1. Mei 21st, 2012
    Trackback from : muhammadagungsantoso

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: