Algoritma solusi persamaan aljabar simultan dengan metode eliminasi Gauss

Pada post kali ini, saya ingin menyampaikan mengenai algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan aljabar simultan. Pertama – tama berikut ilustrasi tiga persamaan simultan yang akan dijelaskan algoritma penyelesaian solusinya.

Sebetulnya, persamaan ini kiranya dapat diselesaikan dengan mudah, misal dengan metode Cramer. Namun, yang ingin ditekankan di sini adalah penyusunan algoritma pencarian solusinya untuk x1, x2, dan x3. Setelah penyusunan algoritma ini selesai, maka bahasa pemrogaman dapat disusun sehingga persamaan simultan ini dapat diselesaikan oleh komputer. Kelebihan dari penyusunan algoritma dan bahasa pemrogaman untuk perhitungan dengan menggunakan komputer adalah banyaknya persamaan simultan yang dapat diselesaikan. Jika 10 persamaan simultan diselesaikan secara manual, maka kira – kira akan terdapat sekitar 70 juta operasi aritmatik yang harus dilakukan, yang tentunya tindakan ini akan sangat tidak ekonomis. Maka oleh karena itu, diperlukan pemahaman mengenai penyusunan algoritma solusi persamaan simultan di atas untuk mempermudah perhitungan solusinya.

Yang pertama – tama dapat dilakukan adalah dengan mengeliminasi a21x1 dan a31 x1. Untuk itu, terdapat konstanta

yang dapat mengeliminasi a21 dan a31 sesuai dengan persamaan

Hanya sebagai catatan, aij pada sebelah kiri persamaan adalah aij yang berbeda dengan aij pada suku pertama di sebelah kiri persamaan. Atau dalam kata lain, aij pada sebelah kiri persamaan adalah aij yang kedua setelah aij yang pertama dikurangi oleh uaij.

Berikut algoritmanya,

Jadi, dapat dijelaskan dari algoritma di atas untuk i = 2 sampai pada i = 3, dilakukan sebuah loop (langkah nomor 2) yang fungsinya adalah dengan menginisiasikan sebuah pengali u yang adalah ai1 dibagi dengan a11. Jadi pada saat i = 2, u adalah a21/a11. Setelah itu, loop kembali dilakukan dari j = 1 sampai j = 4 (langkah nomor – 4). Pada saat j = 1, diberlakukan fungsi a21 = a21 – ua11 (dengan u adalah a21/a11 karena langkah nomor 4 berada di dalam teritori nomor 2. Begitu seterusnya hingga j pada langkah nomor 4 mencapai 4. Pada saat j pada langkah nomor 4 mencapai 4, algoritma kembali ke pada langkah 2, dengan mengganti i = 3. Dan begitu seterusnya hingga operasi selesai.

Setelah a21x1 dan a31 x1 sudah menjadi nol, maka sekarang yang perlu dilakukan adalah mengeliminasi a32x2 agar matriks dari persamaan di atas menjadi matriks triangular. Berikut algoritmanya.

Dengan demikian, pada akhir perhitungan, di dapat matriks triangular yang seperti berikut.

Setelah itu, algoritma terakhir yang diperlukan untuk mendapatkan semua nilai x1, x2, dan x3, adalah algoritma untuk subtitusi. Berikut bentuknya.

Penjelasan loop yang terdapat pada algoritma di atas kiranya sama dengan loop pada algoritma untuk mengeliminasi a21x1 dan a31 x1. Namun, untuk lebih jelasnya, algoritma di atas dapat dievaluasi sesuai dengan persamaan – persamaan di bawah ini,

Berikut bentuk umum dari algoritma 1 sampai 3

Algoritma 3 dapat dilakukan jika matriks dari persamaan simultan sudah triangular, namun seandainya persamaan lebih dari 3 maka diperlukan satu algoritma lagi yaitu eliminasi xk dari n persamaan yang dapat diperhatikan sebagai berikut,

Pada posting selanjutnya, saya berniat untuk mengaplikasikan algoritma di atas untuk kalkulasi persamaan aljabar simultan seperti di bawah ini pada Microsoft Visual Basic.

Sekian, semoga bermanfaat. Wassalam.

  1. Wah bagus sekali, simple tapi hasilnya sesuai. saya kadang masih bingung kalo menggunakan for i atau j, kira-kira bisa sedikit dijelaskan apa arti for i dan j untuk program diatas??

    salam,

    arandityonarutomo.blogspot.com

  2. Wah, algoritma yang mudah dipahami neyh,,
    zuper zekali..

  3. Salut untuk bung Agung yg bisa menjabarkan algoritmanya dengan detail dan mudah dipahami.

    visit my blog ya…

    mhs.blog.ui.ac.id/daniel81

    • setia abikusna
    • Maret 31st, 2012

    Algoritmanya mudah dipahami, terima kasih sharingnya.

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: