Contoh Kalkulasi Integrasi Numerik

Pada tulisan ini, akan ditampilkan contoh pembuatan program kalkulasi integrasi numerik untuk 1o titik data pada Microsoft Visual Basic. Evaluasi program akan dilakukan dengan membandingkan hasil perhitungan program terhadap salah satu permasalahan yang terdapat pada halaman 148 referensi [1].

Metode integrasi numerik yang digunakan pada program ini adalah kombinasi antara moetode Trapezoidal dan Simpson. Dikarenakan program yang dibuat adalah program yang berfungsi untuk integrasi numerik 10 titik data, dimana Metode Simpson memerlukan kumpulan data yang ganjil, maka untuk perhitungan integrasi dua data awal, digunakan metode trapezoidal dengan integrasi data – data selanjutnya dilakukan dengan menggunakan metode Simpson. Sebagian besar data diintegrasikan dengan menggunakan metode Simpson dikarenakan metode Simpson menurut referensi lebih akurat dikarenakan integrasinya yang berdasarkan pendekatan fungsi kuadrat untuk tiap tiga set data pada kumpulan data yang ingin diintegralkan. Mengenai kajian yang lebih mendetail mengenai integrasi numerik, pembaca dapat melihatnya pada referensi [1] dan tidak akan dibahas di sini. Singkatnya, berikut persamaan integrasi numerik, masing – masing, untuk metode Trapezoidal dan metode Simpson.

Persamaan Integrasi Trapezoidal

Persamaan integrasi Simpson

Dapat diperhatikan pada gambar 1, algoritma yang disusun pada Microsoft Visual Basic. Sedangkan gambar 2 adalah bentuk program pada saat dijalankan dengan perhitungan yang dilakukan adalah kalkulasi untuk mengevaluasi program yang dibuat berdasarkan contoh soal 8.3 halaman 148 pada referensi [1].

Gambar 1. Algoritma program pada Microsoft Visual Basic

Gambar 2. Evaluasi Program

Berdasarkan evaluasi yang dilakukan, program yang telah dibuat dapat digunakan untuk integrasi numerik 10 set data dengan metode integrasi yang digunakan adalah kombinasi metode integrasi Trapezoidal dan Simpson.

Referensi:

[1] V. Rajaraman. Computer Oriented Numerical Methods 3th Edition. Prentice – Hall of Indoa. 1996

Iklan

Study of the effect of ventilation rate and platform’s ceiling height on visibility in typical MRT underground station’s fire

Abstract

In case of a fire building visibility is a major important aspect to ensure that all the occupant can evacuate safely. Because of the smoke flow which is a buoyant – driven  flow and due to the installation of near – stairway drop wall that prevent smoke spread to the upper level of the MRT underground station for several period, a fire occurrence at the platform level (which is the location of ignition source in this study) could endanger the safety of passenger at platform’s level even more caused by the prevention of the smoke spread which could increase the smoke layer’s thickness substantially. This phenomenon give rise to faster increase of opacity which reduce significantly the occupant’s capability to looking for the means of escape (e.g. stairs) when the emergency situation arise, such as fire. So, to avoid such situation which endangers occupant’s life safety, especially at platform’s level, a sufficient mechanical ventilation rate should be known and must be installed at the ceiling of MRT Underground Station. The Fire Dynamic Simulator (FDS V553) code is used to simulate or predict smoke spread and the capability of mechanical ventilation to extract smoke and toxic gases due to fire. In this study, performance of ventilation rates (6000 m3/h and 7000 m3/h) toward extraction of the smoke based on visibility for various locations are compared according to the platform’s ceiling height (3 m and 4 m) and Heat Release Rate (HRR) of 50 MW.

Keywords: ventilation rate, visibility, MRT

Kalkulasi Koefisien drag

Berikut ini penulis akan menampilkan kalkulasi sederhana koefisien drag pada bluff body sederhana yang dikenakan aliran udara pada suhu 298 K. Beberapa kajian mendetail mengenai koefisien drag dapat dibaca pada referensi [1] dan tidak akan dijelaskan di sini demi singkatnya penulisan.Secara umum, koefisien drag dapat dihitung berdasarkan persamaan seperti di bawah ini.

persamaan 1

dengan kondisi aliran secara umum (merujuk terhadap simulasi yang akan dilakukan) seperti pada gambar 1, maka gaya drag perlu dihitung terlebih dahulu dengan mengintegrasikan nilai tekanan berdasarkan luasan tertentu di sebelah kiri dan kanan bluff body, berikut kiranya integrasi yang perlu dilakukan

dengan dA adalah luas infinitesimal yang bergantung terhadap diskritisasi volume pada simulasi, dimana

karena simulasi yang dilakukan adalah dua dimensi (sesuai dengan kriteria simulasi 2d pada program CFDSOF yang akan digunakan), maka

Gambar 1. Kondisi aliran pada simulasi

Pada persamaan dA di atas, dy bergantung terhadap diskritisasi volume yang dilakukan pada simulasi. Berikut contoh diskritisasi volume pada domain yang disiapkan untuk simulasi koefisien drag pada rasio bluff body sama dengan 1.

Gambar 2. diskritisasi volume pada rasio bluff body sama dengan 1

Pertama – tama perlu dijelaskan sedikit mengenai definisi rasio bluff body yang akan digunakan pada tulisan ini seperti yang dapat dijelaskan dari gambar berikut, adalah a/b.

Gambar 3. Definisi rasio bluff body pada tulisan ini

Pada simulasi yang akan dilakukan, digunakan diskritisasi volume dengan ukuran dx dan dy sebesar 0.01 m. Oleh karena itu, persamaan integrasi dapat dibentuk seperti di bawah ini dengan dy sebesar 0.01 m, dengan juga mengingat bahwa dz adalah sebesar 1 m.

Jadi, gaya drag dapat dihitung dengan terlebih dahulu mensimulasikan aliran pada CFDSOF. Setelah itu, nilai – nilai tekanan pada sebelah kiri (region 1) dan kanan (region 2) bluff body diintegrasikan, seperti yang dapat diperhatikan pada gambar 4.

Gambar 4. Region Bluff Body

Setelah memperoleh data – data tekanan dalam setiap arah y infinitesimal (dy), integrasi dilakukan secara numerik. Dalam integrasi numerik, terdapat dua metode yang dapat digunakan yaitu metode trapezoidal dan Simpson. Pembahasan mendetail mengenai metode ini dapat dilihat pada referensi [2]. Berikut persamaan berdasarkan metode – metode numerik tersebut.

Gambar 5. Integrasi Trapezoidal

Gambar 6. Integrasi Simpson

Dalam tulisan ini, akan digunakan kombinasi kedua persamaan integrasi di atas, dengan penggunaan metode trapezoidal pada dua data pertama dan Simpson pada data – data selanjutnya jika banyaknya data yang ingin diintegrasikan berjumlah genap. Hal ini dikarenakan metode simpson memerlukan jumlah data yang ganjil. Tidak digunakannya metode trapezoidal saja, karena menurut [2] metode Simpson memiliki keakuratan yang lebih tinggi dikarenakan metode integrasinya yang diturunkan dari aproksimasi fungsi kuadrat pada setiap tiga data dari sejumlah data yang ingin diintegrasikan.

Berikut domain – domain pada simulasi dengan rasio bluf body 1, 0.625, dan 1.6.

Gambar 7. Domain pada rasio bluff body sebesar 1

 Gambar 8. Domain pada rasio bluff body sebesar 0.625

Gambar 9. Domain pada rasio bluff body sebesar 1.6

Berdasarkan gambar 7 sampai gambar 9, aliran pada bluff body terdapat di antara dua plat yang berjarak 50 cm. Jadi, dengan penetapan fluida udara yang mempunyai kerapatan sebesar 1.184 kg/m^3, viskositas dinamik sebesar 1.8 Ns/m^2, serta alokasi kecepatan sebesar 10 m/s dari inlet sebelah kiri (warna biru pada gambar 7 sampai gambar 9), maka bilangan Reynold pada aliran yang disimulasikan sebesar 320000. Berdasarkan nilai bilangan reynold, maka dapat diasumsikan, pada simulasi, aliran yang terjadi adalah aliran turbulen. Dengan demikian, dimodelkan aliran turbulen k epsilon pada simulasi.

Berikut data tekanan dari hasil simulasi pada setiap rasio bluff body beserta nilai koefisien dragnya berdasarkan kalkulasi dari persamaan 1, dimana integrasi tekanan pada region 1 dan 2 dilakukan dengan metode numerik seperti yang telah dijelaskan. Setelah integrasi tekanan pada setiap region diperoleh, integrasi tekanan pada region 1 (gaya drag pada region 1) dikurangi dengan integrasi tekanan pada region 2 (gaya drag pada reregion 2) sebelum disubtitusi ke persamaan 1 untuk menghitung koefisien drag,

Tabel 1. Drag koefisien pada rasio bluff body sebesar 1

Tabel 2. Drag Coefficient pada rasio bluff body sebesar0.625

Tabel 3. Drag coefficient pada rasio bluff body sebesar 1.6

Dari hasil simulasi pada software CFDSOF dan kalkulasi yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan sementara (berdasarkan tabel 1 sampai tabel 3), bahwa semakin besar rasio bluff body, berdasarkan gambar 3, maka akan semakin kecil pula koefisien dragnya.

[1] Bruce R. Munson, Donald F. Young, Theodore H. Okiishi. Fluid Mechanics 4th Edition . John Wiley & Sons, Inc. 2002.

[2] V. Rajaraman. Computer Oriented Numerical Methods 3th Edition. Prentice – Hall of Indoa. 1996

Solusi transien terhadap distribusi temperatur pada hukum fourier 1 dimensi

Berikut permasalahan yang trdapat pada referensi [1]. Pada tulisan kali ini, penulis ingin mencoba menyelesaikan permasalahan ini dengan menggunakan software CFDSOF. Sepertiyang tertulis pada soal, penyelesaian yang diinginkan adalah distribusi temperatur transien yang terdapat pada batang pada waktu 40 etik, 80 detik, dan 120 detik. Sedangkan kalkulasi ulang pada waktu 40 detik dengan menggunakan interval waktu yang seperti terdapat pada gambar 2 serta perbandingannya dengan hasil analitis dari Ozisik (1985) seperti yang terdapat pada gambar 3, akan ditulis pada kesempatan selanjutnya.

Gambar 1. Permasalahan seperti yang terdapat pada referensi [1]

Gambar 2. Interval waktu pada referensi [1]

Gambar 3. Solusi analitis oleh Ozisik (1985)

Seperti yang tertulis pada gambar 1, bahwa permasalahan dapat diselesaikan dengan pendekatan satu dimensi pada persamaan konduksi panas (hukum fourier) seperti di bawah ini,

Maka untuk menyelesaikan permasalahan ini dengan menggunakan software CFDSOF, cukup dengan mengatur atau menetapkan domain perhitungan satu dimensi. Dapat diperhatikan pada gambar 1, bahwa distribusi temperatur ingin diselesaikan pada geometri dengan panjang L = 2 cm. Pada penyelesaian dengan menggunakan software CFDSOF ini, geometri yang ditetapkan agak berbeda, yaitu dengan panjang sebesar 50 cm dan tinggi sebesar 2 cm. Diskritisasi volume (pembagian grid) yang dilakukan pada software dapaet diperhatikan pada gambar 4, dengan pada arah x (panjang) terdapat 10 volume diskrit dan 3 volume diskrit pada arah y (tinggi). Dapat pula diperhatikan pada gambar 5 pengaturan peran cell pada setiap diskritisasi volume yang sudah dilakukan, yaitu dengan warna hijau yang berfungsi sebagai dinding (sel yang merepresentasikan volume yang di dalamnya terdapat aliran termal dimana variabel temperatur menjadi solusi yang diinginkan) dan warna kuning yang merepresentasikan sel simetri (lingkungan ambien).

Gambar 4. set – up geometri dan diskritisasi volume pada software CFDSOF

Gambar 5. Pengaturan diskrit volume pada software CFDSOF

Seperti pada permasalahan utama (gambar 1) bahwa ujung barat dari geometri padat diinsulasi dengan temperatur sebesar 473 K.  Kemudian secara tiba – tiba, ujung timur dari geometri diturunkan temperaturnya menjadi 273 K. Dengan demikian, ditetapkan tiga geometri padat yang berberda pada set – up simulasi yaitu W1, W2, dan W3. Dimana W1 adalah geometri padat yang merepresentasikan ujun barat geometri padat yang diinsulasi, W2 yang merupakan geometri padat yang menjadi medium perpindahan panas antara ujung barat dan ujung timur geometri padat, dan W3 yang adalah ujung timur dari geometri padat itu sendiri dengan.

Jadi, untuk set – up simulasi, W1 yang merupakan ujung barat geometri yang diinsulasi diberikan fluks panas sebesar 0 kW/m^2, serta penetapan temperatur awal sebesar 473 K pada W2 dimana konduktivitas termalnya sebesar 10 W/mK. Penetapan fluks panas pada W1, Temperatur awal W2, konduktivitas termal W2 dapat diperhatikan pada gambar 6 – gambar 8.

Gambar 6. Penetapan fluks panas pada W1

Gambar 7. Penetapan temperatur awal sebesar 473 K pada W2

Gambar 8. Penetapan konduktivitas thermal pada W2

Setelah semua penetapan kondisi awal simulasi dilakukan dengan interval waktu sebesar 1 detik, iterasi dilakukan untuk mengetahui distribusi temperatur pada detik ke 40, 80, dan 120. Berikut hasil iterasi yang menunjukkan distribusi temperatur pada detik ke 40, 80, dan 120.

Gambar 9. Distribusi temperatur pada detik ke 40

Gambar 10. Distribusi temperatur pada detik ke 80

Gambar 11. Distribusi temperatur pada detik ke 120

Dapat diperhatikan dari gambar 9 sampai gambar 11 bahwa akibat dari adanya punurunan temperatur secara mendadak, temperatur W2 yang berada didekat ujung timur geometri padat menjadi menurun dikarenakan adanya aliran termal yang menuju ujung timur dari geometri padat. Aliran ini terjadi berdasarkan kondisi termodinamika yang selalu ingin untuk menetapkan dirinya untuk berada pada kondisi kesetimbangan. Dapat diperhatikan bahwa pada 120 s, kondisi geometri padat belum seutuhnya berada pada kondisi temperatur yang seragam. Lalu, pertanyaan berikutnya yang mungkin akan sedikit membingungkan adalah, “apakah geometri padat sudah berada pada kondisi kesetimbangan?”. Jawaban atas pertanyaan ini belum tentu “belum”. Penyelesaian analitis terhadap hukum termodinamika kedua atau bahkan simulasi sampai waktu dimana kondisi temperatur tidak berubah lagi perlu dilakuan perlu dilakukan. “Sama atau seragam belum tentu adil”.

Referensi:

[1] HK Versteeg. Malalasekera W. An Introduction to Computational Fluid Dynamic : Chapter 7. Longman Scientific and Technical. 1995.

Solusi Persamaan Diskrit

Persamaan – persamaan hasil diskritisasi volume untuk perhitungan numeric, seperti pada gambar 1, dapat diselesaikan dengan berbagai metode. Metode – metode apapun yang digunakan, pada prinsipnya, dapat menyelesaikan persamaan – persamaan ini untuk mencari solusi dari sistem persamaannya sendiri. Namun, untuk perhitungan – perhitungan yang rumit dengan jumlah persamaan dan variable yang banyak, dimana computer digunakan, algoritma kalkulasi yang efisien serta bersahabat dengan performa computer yang ekonomis perlu untuk dipahami.

Secara umum, metode yang digunakan adalah metode langsung (Direct) dan tidak langsung (Indirect atau Iterative). Yang dimaksud dengan metode langsung adalah suatu metode analitis yang digunakan langsung untuk mencari solusi dari sistem persamaan, contohnya adalah metode aturan cramer dan eliminasi Gauss. Pada metode ini, jumlah operasi perhitungan yang dilakukan dapat diketahui sebelumnya, yaitu, untuk menyelesaikan sebanyak N persamaan dengan N variable yang tidak diketahui, diperlukan N3 operasi dimana sebanyak N2 koefisien harus disimpan pada memori computer.

Gambar 1. Contoh sistem persamaan linear

Tentunya, hal ini menjadi suatu hambatan tersendiri jika kemampuan computer yang akan digunakan mempunyai performa yang minim pada saat ingin dilakukan komputasi mengenai permasalahan, yang pada saat sudah didiskritisasi, membentuk suatu sistem persamaan dengan jumlah persamaan dan jumlah variable yang banyak sehingga akan diperlukan memori computer yang besar untuk menyimpan N2 koefisien.

Sedangkan metode tidak langsung atau iterative, merupakan metode yang berbasiskan terhadap aplikasi dari langkah – langkah/algoritma sederhana yang diulang – ulang pada sistem persamaan tersebut hingga sistem persamaan mencapai keadaan konvergen yang merepresentasikan solusi dari sistem persamaan tersebut. Pada metode iterative, banyaknya langkah – langkah perhitungan yang dilakukan tidak dapat diprediksi, dimana tipikalnya adalah sebanyak N perhitungan per satu kali iterasi. Kekurangan lainnya adalah, jika sistem persamaan tidak berada pada kondisi yang kondusif, maka konvergensi dari suatu sistem persamaan tidak dapat terjamin. Satu – satunya kelebihan dari penggunaan metode iterative adalah sedikitnya memori computer yang digunakan sebagai akibat dari algoritma yang mendesain agar computer hanya menyimpan koefisien – koefisien yang tidak nol. Simulasi – simulasi aliran fluida dapat memiliki jumlah persamaan dan variabel yang sangat banyak, mulai dari 1000 – 2 juta persamaan, yang tentunya dari sistem persamaan tersebut akan terdapat koefisien – koefisien nol, yang jika tidak disimpan pada memori computer, akan menghemat banyak ruang untuk performa computer.

Dikarenakan sistem persamaan Jacobi dan Gauss – Siedel yang lambat mencapai konvergensi pada saat sistem persamaan yang ditinjau mempunyai jumlah persamaan dan variable yang banyak, maka metode ini tidak digunakan pada prosedur kalkulasi CFD. Metode iterative selain Jacobi dan Gauss – Siedel, metode lain yang dapat digunakan adalah kalkulasi dengan menggunakan algoritma matrix tri – diagonal (TDMA) yang diperkenalkan oleh Thomas pada tahun 1949.

Tri – Diagonal Matrix Algorithm (TDMA)

TDMA merupakan metode kalkulasi iterative untuk komputasi CFD dua atau tiga dimensi dan merupakan algoritma standar untuk kalkulasi solusi persamaan aliran pada koordinat cartesius. Dapat diperhatikan salah satu contoh matriks tri – diagonal pada gambar 2.

Gambar 2. Contoh sistem persamaan yang membentuk matriks tri – diagonal

Pada gambar di atas, ϕ1 dan ϕn+1 adalah merupakan nilai batas yang diketahui. Bentuk umum dari setiap persamaan adalah seperti berikut,

Persamaan – persamaan pada gambar 2 dapat di atur ulang seperti berikut,

Gambar 3.

Untuk mendapatkan solusi terhadap ϕ, langkah kalkulasi yang pertama dilakukan adalah forward elimination dengan kemudian dilakukan back substitution untuk mendapatkan nilai – nilai ϕ. Inti dari forward elimination adalah mengatur ulang persamaan – persamaan pada gambar di atas. Dapat diperhatikan urutannya seperti pada gambar 4 untuk contoh forward elimination untuk ϕ3. Untuk langkah pertama, ϕ2 disubtitusi dari persamaan pertama seperti pada gambar 3 di atas.

Gambar 4. Forward Elimination  pada ϕ3

Setelah langkah pada gambar 4 diteruskan sampai ϕn, langkah back substitution dilakukan untuk kalkulasi solusi terhadap nilai – nilai ϕ. Dengan Back Substitution adalah langkah yang mencari solusi variable dari persamaan yang terakhir, dengan kemudian mensubtitusi persamaan terakhir tersebut ke persamaan sebelumnya, langkah ini terus dilakukan hingga nilai semua variable diperoleh.

Aplikasi TDMA

Pada kasus dua dimensi (lihat gambar 5), TDMA akan dilakukan dengan mengkalkulasi sistem persamaan pada satu arah dengan kemudian berpindah ke garis lainnya. Untuk lebih jelasnya, misal akan dilakukan suatu kalkulasi pada bidang dua dimensi seperti pada gambar 5, maka perlu dibuat sistem persamaan dari 1 sampai titik n. Setelah kalkulasi dari titik satu sampai titik n selesai, kalkulasi berpindah ke samping dengan arah yang sama dengan kalkulasi sebelumnya.

Gambar 5. Bidang dua dimensi

Misal, pada titik 2, persamaan yang terbentuk dapat berupa seperti pada gambar di bawah ini.

Gambar 6.

Untuk menyesuaikannya seperti persamaan pada gambar 2, maka persamaan di atas diatur seperti di bawah ini.

Gambar 7.

Dengan subskrip S, N, W, E, P adalah masing – masing koefisien dan variable sebelah selatan titik, koefisien dan variable sebelah utara titik, koefisien dan variable sebelah barat titik, koefisien dan variable sebelah timur titik, dan titik yang bersangkutan, serta b yang adalah suku sumber atau factor yang berkontribusi terhadap perubahan nilai – nilai atau distribusi variable ϕ pada daerah komputasi. Karena perhitungan bergerak dari selatan ke utara, maka nilai – nilai yang bersangkutan dengan titik sebelah barat dan sebelah timur titik yang bersangkutan dianggap diketahui (biasanya diberikan nilai nol). Begitu terus perhitungan dilakukan hingga variable – variable ϕ di setiap titik pada bidang diperoleh. Setelah itu, perhitungan dilakukan lagi (diulang/iterasi) hingga error terhadap solusi dari sistem persamaan mencapai toleransi yang telah ditetapkan sebelumnya.

Sedangkan untuk kasus tiga dimensi, perhitungan pada dasarnya sama seperti pada kasus dua dimensi. Namun, sebelum kalkulasi sistem persamaan diiterasi, pergerakan perhitungan bergerak ke atas/ bawah terlebih dahulu untuk mendapatkan variable pada semua daerah komputasi. Berikut contoh gambar untuk memperjelas aplikasi TDMA pada kasus tiga dimensi.

Gambar 8. Daerah komputasi tiga dimensi

Serta berikut contoh persamaan pada setiap titik di kasus komputasi tiga dimensi.

Untuk contoh kalkulasi pada model fisikanya, referensi versteeg [1] dapat menjadi bahan acuan. Sedangkan beberapa contoh – contoh kalkulasi iterasi dapat diperhatikan pada Metoda Iterative Bisection dalam kalkulasi solusi persamaan polynomial orde tiga, Kalkulasi ketinggian cairan pada tanki horizontal dengan menggunakan Microsoft Visual Basic. Serta berikut pembahasan  – pembahasan singkat mengenai kalkulasi solusi sistem persamaan, Kalkulasi solusi persamaan aljabar simultan, Metoda Iterasi.

Referensi:

[1] HK Versteeg. Malalasekera W. An Introduction to Computational Fluid Dynamic : Chapter 7. Longman Scientific and Technical. 1995.

Grid Sensitivity Study

Diskritisasi volume yang dilakukan pada perhitungan numerik memerlukan pemilihan ukuran yang optimal berdasarkan sudut pandang ekonomi dan teknis. Yang dimaksud dengan sudut pandang ekonomi di sini adalah lamanya waktu perhitungan. Lamanya waktu perhitungan yang dilakukan pada perhitungan numerik merupakan dampak dari diskritisas volume itu sendiri di samping kemampuan/performa kalkulasi komputer yang digunakan. Semakin kecil volume – volume diskrit yang ditetapkan, maka akan semakin lama waktu perhitungan yang diperlukan, dimana kecilnya diskritisasi volume yang dilakukan proporsional dengan keakuratan hasil perhtungan. Dengan demikian, dapat diambil kesimpulan bahwa semakin kecil volume diskrit maka akan semakin lama waktu perhitungan dan akan semakin akurat hasil perhitunga, yang dimana hal ini mengatakan secara tidak langsung bahwa lamanya waktu perhitungan berbanding lurus dengan keakuratan hasil perhitungan.

Singkat kata, dalam studi sensitivitas grid, dilakukan suatu simulasi secara simultan dengan memvariasikan ukuran grid untuk mencari ukuran volume diskrit yang menghasilkan hasil perhitungan yang seakurat mungkin dalam waktu perhitungan yang sekecil mungkin.

Misal, akan dilakukan suatu studi terhadap pengaruh pengaruh ketajaman nosel terhadap kecepatan aliran fluida, dengan variasi sudut nosel 10, 20, 30, 50, dan 60 derajat. Maka perlu untuk terlebih dahulu melakukan grid sensitivity studi sebelum simulasi dilakukan untuk semua variasi sudut nosel. Misal grid sensitivity study dilakukan pada sudut nosel sebesar 60 derajat, dengan variasi grid sebesar 1, 0.5, dan 0.1 mm. Berdasarkan hasil simulasi studi sensitivitas grid, akan dilihat hasil kalkulasinya yang, misal, merepresentasikan kecepatan fluida. Berdasarkan hasil simulasi ini, akan diperhatikan daerah – daerah yang memiliki perbedan nilai. Misal antara grid 1, 0.5, dan 0.1 mm, perbedaan yang paling mencolok terhadap kecepatan fluida terdapat pada aliran fluida di dekat nosel, maka perlu untuk memperkecil ukuran grid pada daerah nosel, namun jika grid 1 mm sudah cukup akurat untuk daerah selain daerah pada nosel (ditandakan dengan tidak adanya perbedaan yang berarti untuk kecepatan fluida di daerah selain nosel pada ukuran grid 1, 0.5 dan 0.1 mm) maka grid 1 mm kiranya perlu untuk dialokasikan untuk memperkecil waktu perhitungan (berdasarkan sudut pandang ekonomi). Dari penjelasan di atas, maka dapat diambil kesimpulan bahwa ukuran grid yang kecil perlu untuk ditetapkan pada daerah – daerah yang mempunyai kontribusi yang berarti untuk menyebabkan kondisi aliran fluida berubah. Beberapa  contoh – contoh kondisi yang perlu untuk diperkecil ukuran gridnya (keakuratan perhitungannya) adalah daerah reaksi (misal pembakaran), sambungan reduksi, katup, aliran bluff body, dan masih banyak lagi.

Berikut ini akan ditampilkan hasil simulasi dua dimensi aliran di antara dua plat sejajar dengan variasi jumlah grid 50×50, 70×70, 90×90, 100×100, 120×120, 140×140. Berikut contoh geometri grid pada distribusi grid sebanyak 50×50.

Gambar 1. Distribusi grid 50×50

Boundary Layer Development

Berikut akan ditampilkan perubahan perubahan profil kecepatan pada daerah masukan relatif terhadap dua plat sejajar. Kita ketahui bersama bahwan pada daerah ini akan terjadi perkembangan boundary layer, maka dapat diambil kesimpulan bahwa daerah ini berkontribusi terhadap perubahan kondisi aliran fluida. Perubahan ini dapat diperhatikan secara berunut dari gambar 2 sampai gambar 7, dimana profil ini diambil dari sel i ke 1 sampai sel i ke 7.

Gambar 2. Boundary Layer Development pada grid 50×50

Gambar 3. Boundary Layer Development pada grid 70×70

Gambar 4. Boundary Layer Development pada grid 90×90

Gambar 5. Boundary Layer Development pada grid 100×100

Gambar 6. Boundary Layer Development pada grid 120×120

Gambar 7. Boundary Layer Development pada grid 140×140

Dari gambar 2 sampai gambar 7 di atas, dapat diambil kesimpulan bahwa dengan semakin akuratnya grid yang digunakan maka semakin menunjukkan perkembangan boundary layer yang akurat. Hal ini ditunjukkan dengan perbedaan – perbedaan yang terdapat pada gambar – gambar di atas. Namun, dengan pengamatan yang lebih lanjut lagi, dapat diperhatikan bahwa perkembangan boundary layer tidak begitu berbeda antara distribusi grid 120×120 dan 140×140. Dengan demikian, pada bagian masukan aliran di antara dua plat sejajar, distribusi grid sebesar 120×120 kiranya cukup untuk ditetapkan.

Profil Kecepatan

Profil kecepatan sepanjang arah aliran juga perlu untuk diperhatikan. Berikut akan ditampilkan profil kecepatan sepanjang arah aliran di pertengahan dua plat. Perubahan kondisi aliran berdasarkan variasi distribusi grid dapat diperhatikan pada fambar 8 sampai gambar 13.

Gambar 8. Profil kecepatan pada distribusi grid 50×50

Gambar 9. Profil kecepatan pada distribusi grid 90×90

Gambar 10. Profil kecepatan pada distribusi grid 90×90

Gambar 11. Profil kecepatan pada distribusi grid 100×100

Gambar 12. Profil kecepatan pada distribusi grid 120×120

Gambar 13. Profil kecepatan pada distribusi grid 140×140

Dapat diperhatikan pada gambar – gambar di atas secara berurutan bahwa kecepatan sepanjang arah x berubah di antara rentang 13 m/s sampai 11 m/s, khususnya pada daerah di dekat aliran masuk. Namun, dapat diperhatikan bahwa sekali lagi, bahwa sebagian besar kondisi aliran tidak berubah berdasarkan variasi distribusi grid pada daerah selain daerah masukan aliran. Pada daerah aliran masuk, perubahan yang tidak terlalu berbeda terdapat antara distribusi grid 120×120 dan 140, dengan demikian, kiranya dapat dialokasikan ukruran grid yang tidak uniform dimana pada daerah aliran masuk dan daerah seterusnya, masing  – masing, ditetapkan distribusi grid sebesar 120×120 dan 50×50.

Aliran di antara dua plat

Aliran fluida di antara dua plat (gambar 1) merupakan kasus yang penting untuk ditinjau guna memahami sifat dasar pergerakan fluida. Hal ini dikatakan demikian karena setidaknya aliran di antara dua plat adalah contoh aliran internal dengan kondisi batas yang paling sederhana yaitu dengan geometri yang hanya mempunyai 2 dimensi karena menggunakan asumsi bahwa perubahan aliran pada dimensi ketiga dapat diabaikan. Dimensi ketiga diabaikan untuk menyederhanakan kasus agar proses pemahaman konsep dasar pergerakan fluida dapat dipahami dengan mudah, juga dikarenakan pergerakan fluida dua dimensi di antara dua plat datar sudah menjelaskan konsep fluida yang paling penting untuk mempelajari pergerakan fluida yaitu bilangan Reynold (Gambar 2).

Gambar 1. Aliran di antara 2 plat datar

Gambar 2. Bilangan Re.

Dapat diperhatikan pada gambar 2 di atas, bahwa bilangan reynold yang merepresentasikan turbulensi suatu aliran dipengaruhi oleh kerapatan (rho), kecepatan (v), viskositas dinamik fluida (mu), dan dimensi kondisi batas aliran (D). Dimana hubungan gradien kecepatan  terhadap arah y (laju regangan geser) dengan tegangan dan viskositas dinamik dapat diperhatikan pada gambar 3.

Gambar 3. Tegangan Geser

Dapat diperhatikan pada gambar 3 bahwa tegangan geser yang terdapat pada bagian plat yang berbatasan dengan batas aliran fluida tergantung terhadap viskositas fluida itu sendiri beserta profil alirannya (du/dy). Oleh karena itu, profil aliran fluida diperlukan untuk melihat perkembangan pergerakan fluida di dalam sebuah kondisi batas. Oleh karena itu akan diperlihatkan hasil dari simulasi yang telah dilakukan dimana hasil yang akan ditampilkan adalah perkembangan profil kecepatan fluida pada daerah “entrance region” (gambar 1) beserta kontur dari kecepatan itu sendiri di dalam wilayah komputasi dalam simulasi yang telah dilakukan.

Parameter – parameter yang ditetapkan dalam simulasi adalah sebagai berikut:

– Panjang = 5 m

– Tinggi = 0.5 m

– Resolusi sel dalam arah x (panjang) = 50

– Resolusi sel dalam arah y (tinggi) = 50

– Kerapatan fluida (rho) = 1E03 kg/m^3

Dengan variasi simulasi yang telah dilakukan adalah sebagai berikut

– case 1 : v = 0.5 m/s ; viskositas dinamik (mu) = 1 kg/m.s

– case 2 : v = 0.5 m/s ; viskositas dinamik (mu) = 10 kg/m.s

– case 3 : v = 1 m/s ; viskositas dinamik (mu) = 1 kg/m.s

– case 4 : v = 1 m/s ; viskositas dinamik (mu) = 10 kg/m.s

Dengan mengamati variasi – variasi di atas, dapat diambil perbandingan – perbandingan dari profil kecepatan pada kecepatan dan viskositas dinamik yang berbeda. Dimana dari case 1 dan case 2 serta case 3 dan case 4, profil kecepatan dapat dibandingkan dengan adanya perbedaan dari nilai viskositas dinamik. Kemudian dari case 1 dan case 3 serta case 2 dan case 4, perbedaan dari profil kecepatan dapat dibandingkan dimana perbedaan ini dihasilkan oleh adanya perubahan dari nilai kecepatan masuk dari fluida. Hal ini dapat diperhatikan dengan lebih jelas pada gambar 4.

Gambar 4. Relasi antara variasi parameter fisik simulasi

Pengaruh viskositas dinamik terhadap profil aliran

Berdasarkan persamaan Reynold, viskositas berpengaruh terhadap profil atau bentuk dari pergerakan fluida dimana pengaruhnya adalah berbanding terbalik (jika viskositas dinamik bertambah besar maka reynold akan semakin kecil yang mengartikan bahwa pergerakan fluida akan semakin laminer dan sebaliknya). Dapat diperhatikan pada gambar 5 dan gambar 6, kontur kecepatan fluida pada viskositas dinamik, masing – masing, sebesar 1 kg/m.s dan 10 kg/m.s.

Gambar 5. Profil kecepatan case 1

Gambar 6. Profil Kecepatan case 2

Secara visual, dapat diperhatikan perbedaan kontur pada profil kecepatan antara case 1 dan case 2. Pada case 2, dengan viskositas dinamik sebesar 10 kg/m.s, kontur kecepatan lebih dekat untuk menuju kondisi “fully developed” (gambar 1) dibandingkan case 1 yang memiliki viskositas 10 kali lipat lebih kecil dibandingkan dengan viskositas dinamik pada case 2. Dimana kondisi “fully developed” adalah kondisi dimana fluida memiliki kontur kecepatan yang sama di setiap koordinat x, relatif terhadap koordinat y.

Hal ini dapat dimengerti dengan memperhatikan wilayah yang mempunyai kecepatan yang kecil (warna biru). Dikarenakan kondisi viskositas dinamik pada case 2 yang relatif lebih besar terhadap case 1, maka wilayah biru ini lebih besar pada case 2 dibandingkan pada case 1. Hal ini dikarenakan oleh fluida pada case 2 yang memiliki kekentalan yang lebih besar dibandingkan dengan kekentalan fluida pada case 1. Oleh karena itu, fluida pada case 2 relatif lebih dekat, terhadap fluida pada case 1, untuk berada pada kondisi “fully developed” dikarenakan kekentalannya yang lebih besar. Hal ini dapat dikaitkan dengan persamaan bilangan Reynold pada gambar 2. Dengan memasukkan parameter – parameter pada case 1 dan 2, didapatkan nilai bilangan reynold pada case 1 dan 2, secara berurutan, adalah sebesar 240 dan 24. Dikarenakan kondisi bilangan reynold pada case 2 yang jauh lebih kecil dibandingkan dengan bilangan reynold pada case 1 maka dapat diambil kesimpulan bahwa aliran fluida pada case 1 lebih dekat untuk mencapai kondisi stabilnya/”fully developed”.

Perbandingan profil kecepatan antara case 3 dan 4 yang juga merupakan pengamatan terhadap pengaruh viskositas dinamik dapat diperhatikan pada gambar 7 dan gambar 8. Kesimpulan yang dapat dihasilkan dari perbandingan antara case 3 dan 4 adalah sama dengan case 1 dan 2, yang berbeda hanya variabel kecepatannya saja. Dimana pada case 1 dan 2, kecepatan adalah sebesar 0.5 m/s. Sedangkan pada case 3 dan 4, kecepatan adalah sebesar 1 m/s. Dengan bilangan Reynold pada case 3 dan 4, masing – masing, adalah sebesar 480 dan 48.

Gambar 7. Profil Kecepatan case 3

Gambar 8. Profil kecepatan case 4

Pengaruh kecepatan aliran terhadap profil aliran

Kecepatan aliran berdasarkan persamaan bilangan reynold berbanding lurus mempengaruhi parameter turbulensi aliran. Namun dikarenakan variasi kecepatan yang kecil pada simulasi, antara 0.5 m/s dan 1 m/s, yang hanya 2 kali. Tentunya sangat kecil dibandingkan dengan variasi terhadap viskositas dinamik yang 10 kali lipat. Dengan demikian, perbedaan aliran tidak begitu terlihat pada perbandingan dengan variasi kecepatan (case 1 dan case 3, case 2 dan case 4), khusus untuk simulasi ini.

Perbandingan dapat dilakukan dengan memperhatikan gambar 5 dan 7 (perbandingan case 1 dan case 3) serta gambar 6 dan 8 (perbandingan case 2 dan case 4). Jika diperhatikan dengan seksama, perbedaan tentu terlihat dengan case 1 lebih dekat untuk mencapai kondisi “fully developed” dibandingkan dengan case 3. Begitu juga dengan case 2 yang lebih dekat untuk mencapai kondisi “fully developed” dibandingkan dengan case 4. Hal ini berhubungan dengan perbandingan antara nilai reynoldnya yang dengan lebih jelas dapat diperhatikan pada tabel di bawah ini.

Tabel 1. Bilangan reynold untuk setiap case

Dari pembahasan sejauh ini, kesimpulan sementara yang dapat diambil adalah semakin besar bilangan reynold, maka semakin jauh untuk suatu fluida tersebut untuk berada pada kondisi stabilnya (“fully developed”). Hal ini dapat diperhatikan dengan mengurutkan Gambar profil kecepatan berdasarkan urutan bilangan reynoldnya yang secara berurutan adalah case 2 –> case 4 –> case 1 –> case 3. Hal ini dapat diperhatikan dengan lebih jelas pada gambar 9 sampai gambar 12.

Gambar 9. Profil kecepatan case 2

Gambar 10. Profil kecepatan case 4

Gambar 11. Profil Kecepatan case 1

Gambar 12. Profil kecepatan case 3

Sedangkan perkembangan profil kecepatan pada 70 cm pertama untuk setiap case, berurutan berdasarkan besarnya bilangan reynold, dapat diperhatikan pada gambar 13 sampai gambar 16 (grafik merah pada x = 0 m dan secara berurutan sampai grafik biru tua pada x = 0.7 m).

Gambar 13. Boundary layer development pada case 2

Gambar 14. Boundary layer development pada case 4

Gambar 15. Boundary layer development pada case 1

Gambar 16. Boundary layer development pada case 3

Dari gambar 13 sampai gambar 16, dapat diambil kesimpulan yang juga sama dengan pengamatan pada gambar  9 sampai gambar 12. Dapat diperhatikan pada gambar 13 bahwa pada x = 70 cm, kecepatan fluida sudah berada dalam bentuk stabilnya/”fully developed” (bentuk “fully developed” pada aliran diantara 2 plat dapat diperhatikan seperti pada bentuk “fully developed” pada gambar 1). Sedangkan pada gambar 16, dengan bilangan reynold sebesar 480, dapat diperhatikan bahwa fluida belum mencapai bentuk “fully developed”-nya pada x = 70 cm.

Kesimpulan yang dapat diambil dari pembahasan di atas adalah, semakin besar bilangan reynold maka semakin jauh untuk suatu fluida berada pada kondisi atau bentuk profil kecepatan stabilnya (“fully developed”).